BITANGENCIAS 

 

 HAY DOS PLANOS TANGENTES COMUNES A LOS DOS CUERPOS 

 

CILINDROS DE REVOLUCIÓN

PROCESO

  1. Observa qué tipo de cuerpos son y cómo están situados: Tres cilindros de revolución de igual radio

  • Uno de los cilindros es vertical, es decir queda proyectante horizontal

  • Los ejes de los cilindros se cortan definiendo un plano Plano Común de Simetría Frontal

  • Dibuja SIEMPRE las proyecciones diédricas contrarias a los contornos de dichos cuerpos

  1. Detecta previamente, si es posible, la intersección. Podrá ser: Mordedura, Penetración, Simple Tangencia o Bitangencia

  • En la proyección horizontal observamos que hay dos planos tangentes comunes a los tres cuerpos y que son frontales: Hay BITANGENCIA.

  1. Tantea qué Método puedes aplicar a la intersección. Hay veces que incluso podemos utilizar los tres métodos existentes: Planos Paralelos, Planos por el Vértice y/o Esferas auxiliares Concéntricas

     

    • PLANOS PARALELOS Aquellos planos que siendo paralelos entre sí van a producir secciones circulares y/o generatrices (o aristas) a los cuerpos.

      En este caso planos paralelos al PV. de proyección seccionan a los cuerpos según generatrices. Se cortarán, en cada uno de los planos, dándonos puntos que pertenecen a la intersección buscada

       

    • PLANOS POR EL VÉRTICE. Planos que pasando por los vértices de los cuerpos los cortan según generatrices (y/o aristas). Es por esto, que el método es aplicable sólo cuando los cuerpos son CONOS, CILINDROS, PIRÁMIDES O PRISMAS ENTRE SÍ:

       

      Por un punto cualquiera del espacio, trazamos rectas paralelas a las generatrices de los cilindros. Estas rectas cortan al plano donde está una de las bases (la del cilindro vertical) en el PH. y definen la traza horizontal de un plano arbitrario paralelo a las generatrices de los tres cilindros. Las rectas paralelas a esta traza según corten a las bases de los cilindros nos sirven para saber el tipo de intersección que se producirá.

      Como se dijo hay BITANGENCIA por haber dos planos tangentes comunes a los dos cuerpos y que son frontales

       

    • ESFERAS AUXILIARES CONCÉNTRICAS. Este método es aplicable cuando se cumplan simultáneamente dos condiciones: que los cuerpos sean de revolución y que sus ejes se corten

     

  2. Comprueba SIEMPRE si hay algún Plano Común de Simetría.  Si esto es así, debemos hacer un cambio de plano, pues veremos con respecto al mismo una Cónica (Elipse, Parábola, Hipérbola, Circunferencia e, incluso, que esa proyección degenere en Dos rectas)

  • Como hay un Plano de Simetría Frontal, y haber Bitangencia, vemos en proyección vertical DOS RECTAS

  • En el espacio hay DOS CURVAS PLANAS CON DOS PUNTOS DOBLES DE PASO DE LA CURVA

  • Son DOS ELIPSES. Mejor dicho, CUATRO ARCOS DE ELIPSE: Dos correspondientes al cilindro izquierdo que "entra" en el cilindro vertical, pero no "sale", y otros dos arcos de elipse en el cilindro de la derecha que penetra tangencialmente también en el cilindro vertical, pero que tampoco sale

  • Los puntos de corte de los contornos en el cambio de plano (en el PV. en este caso) son puntos que pertenecen a la intersección. Otros puntos importantes son los de corte de las dos rectas intersección (elipses). Por la posición de los cuerpos y ser uno de ellos proyectante horizontal, la intersección se ve como una circunferencia

Si el plano común de simetría no quedara frontal, otros puntos importantes serían: los puntos de corte de las dos elipses de la intersección (puntos dobles), y los puntos de corte de la intersección con las proyecciones contrarias a las generatrices de contornos en el cambio de plano que deberíamos realizar. Podríamos dibujar también las elipses por sus ejes principales, además de los puntos señalados anteriormente

 

CONOS OBLICUOS DE BASE CIRCULAR

 

 

PROCESO

  1. Observa qué tipo de cuerpos son y cómo están situados: Dos conos oblicuos con misma base circular

  • Los ejes de los conos se cortan en el centro de la base circular y definen un Plano Común de Simetría Frontal

  • Dibuja SIEMPRE las proyecciones diédricas contrarias a los contornos de dichos cuerpos

  1. Detecta previamente, si es posible, la intersección. Podrá ser: Mordedura, Penetración, Simple Tangencia o Bitangencia

  • Parece ser que es penetración pues todas las generatrices de un cuerpo interceptan a los del otro, y viceversa

  1. Tantea qué Método puedes aplicar a la intersección. Hay veces que incluso podemos utilizar los tres métodos existentes: Planos Paralelos, Planos por el Vértice y/o Esferas auxiliares Concéntricas

     

    • PLANOS PARALELOS Aquellos planos que siendo paralelos entre sí van a producir secciones circulares y/o generatrices (o aristas) a los cuerpos.

      En este caso planos paralelos al PH. de proyección seccionan a los cuerpos según circunferencias. Se cortarán, en cada uno de los planos, dándonos puntos que pertenecen a la intersección buscada

       

    • PLANOS POR EL VÉRTICE. Planos que pasando por los vértices de los cuerpos los cortan según generatrices (y/o aristas). Es por esto, que el método es aplicable sólo cuando los cuerpos son CONOS, CILINDROS, PIRÁMIDES O PRISMAS ENTRE SÍ

       

      Por los vértices de los conos trazamos una recta que corta al plano de la base común (el PH.) en un punto. Trazando las tangentes a esa base nos damos cuenta que hay BITANGENCIA

  1. Comprueba SIEMPRE si hay algún Plano Común de Simetría.  Si esto es así, debemos hacer un cambio de plano, pues veremos con respecto al mismo una Cónica (Elipse, Parábola, Hipérbola, Circunferencia e, incluso, que esa proyección degenere en Dos rectas)

  • Como hay un Plano de Simetría Frontal, haber UNA CURVA PLANA COMÚN y BITANGENCIA, vemos en proyección vertical DOS RECTAS (desechamos la teoría de que se producía una penetración)

  • En el espacio hay DOS CURVAS PLANAS CON DOS PUNTOS DOBLES DE PASO DE LA CURVA

  • Son la propia CIRCUNFERENCIA base de los dos conos y un ARCO DE ELIPSE, pues la intersección final queda delimitada por el PH. de proyección

  • Los puntos de corte de los contornos en el cambio de plano (en el PV. en este caso) son puntos que pertenecen a la intersección. Otros puntos importantes son: los puntos de corte de las dos rectas intersección (circunferencia y elipse), que son los dos puntos dobles, y los de corte de la intersección con las proyecciones verticales de las generatrices de contorno horizontal de los conos. En este caso podremos dibujar la elipse por sus ejes principales, además de los puntos señalados anteriormente

 

CONO DE  REVOLUCIÓN y CILINDRO DE REVOLUCIÓN

PROCESO

  1. Observa qué tipo de cuerpos son y cómo están situados: Cono de revolución y cilindro de revolución

  • Los ejes de los dos cuerpos se cortan definiendo un plano Plano Común de Simetría Frontal

  • Dibuja SIEMPRE las proyecciones diédricas contrarias a los contornos de dichos cuerpos

  1. Detecta previamente, si es posible, la intersección. Podrá ser: Mordedura, Penetración, Simple Tangencia o Bitangencia

  • No podemos detectar, de antemano y viendo las proyecciones diédricas, qué tipo de intersección resultará

  1. Tantea qué Método puedes aplicar a la intersección. Hay veces que incluso podemos utilizar los tres métodos existentes: Planos Paralelos, Planos por el Vértice y/o Esferas auxiliares Concéntricas

     

    • PLANOS POR EL VÉRTICE. Planos que pasando por los vértices de los cuerpos los cortan según generatrices (y/o aristas). Es por esto, que el método es aplicable sólo cuando los cuerpos son CONOS, CILINDROS, PIRÁMIDES O PRISMAS ENTRE SÍ

       

      Por los vértices de los cuerpos trazamos una recta que corta a los planos de las bases en dos puntos.  La utilización de este método puede desecharse, pues tendríamos que dibujar dichas bases (circulares)  contenidas en planos perpendiculares a cada uno de los ejes de los cuerpos, y eso dificultaría y/o retrasaría la obtención de la intersección

       

    • ESFERAS AUXILIARES CONCÉNTRICAS. Este método es aplicable cuando se cumplan simultáneamente dos condiciones: que los cuerpos sean de revolución y que sus ejes se corten

      Observamos que hay una esfera INSCRITA COMÚN A LOS DOS CUERPOS, por lo que finalmente habrá BITANGENCIA

  2. Comprueba SIEMPRE si hay algún Plano Común de Simetría.  Si esto es así, debemos hacer un cambio de plano, pues veremos con respecto al mismo una Cónica (Elipse, Parábola, Hipérbola, Circunferencia e, incluso, que esa proyección degenere en Dos rectas)

  • Como hay un Plano de Simetría Frontal, ser los dos cuerpos circunscritos a la esfera y haber Bitangencia, vemos en proyección vertical DOS RECTAS

  • En el espacio hay DOS CURVAS PLANAS CON DOS PUNTOS DOBLES DE PASO DE LA CURVA: Son DOS ELIPSES

  • Los puntos de corte de los contornos en el cambio de plano (en el PV. en este caso) son puntos que pertenecen a la intersección. Otros puntos importantes son: los puntos de corte de las dos rectas sección (elipses) que son los puntos dobles, y los puntos de corte de la intersección con las proyecciones verticales de las generatrices de contorno horizontal de los dos cuerpos. En proyección horizontal podremos dibujar las elipses por sus ejes principales, además de los puntos señalados anteriormente
        

 

CONO OBLICUO DE BASE CIRCULAR Y ESFERA

PROCESO

  1. Observa qué tipo de cuerpos son y cómo están situados: Cono oblicuo de base circular y esfera

  • El ecuador de la esfera es base del cono oblicuo, y viceversa

  • El eje del cono pasa por el centro de la esfera, deduciéndose por lo tanto, que hay  un  Plano Común de Simetría que en este caso es Frontal

  • Dibuja SIEMPRE las proyecciones diédricas contrarias a los contornos de dichos cuerpos

  1. Detecta previamente, si es posible, la intersección. Podrá ser: Mordedura, Penetración, Simple Tangencia o Bitangencia

  • No podemos detectar, de antemano y viendo las proyecciones diédricas, qué tipo de intersección resultará

  1. Tantea qué Método puedes aplicar a la intersección. Hay veces que incluso podemos utilizar los tres métodos existentes: Planos Paralelos, Planos por el Vértice y/o Esferas auxiliares Concéntricas

     

    • PLANOS PARALELOS Aquellos planos que siendo paralelos entre sí van a producir secciones circulares y/o generatrices (o aristas) a los cuerpos.

      En este caso planos paralelos al PH. de proyección seccionan a los cuerpos según circunferencias. Se cortarán, en cada uno de los planos, dándonos puntos que pertenecen a la intersección buscada

       

  2. Comprueba SIEMPRE si hay algún Plano Común de Simetría.  Si esto es así, debemos hacer un cambio de plano, pues veremos con respecto al mismo una Cónica (Elipse, Parábola, Hipérbola, Circunferencia e, incluso, que esa proyección degenere en Dos rectas)

  • Como hay un Plano de Simetría Frontal, y hay  una CURVA PLANA COMÚN (el ecuador de la esfera=base del cono oblicuo)  vemos en proyección vertical DOS RECTAS. Se da el caso que hay dos planos tangentes a los dos cuerpos (proyectantes horizontales) por lo que también hay BITANGENCIA

  • En el espacio hay DOS CURVAS PLANAS CON DOS PUNTOS DOBLES DE PASO DE LA CURVA: Son DOS CIRCUNFERENCIAS

  • Los puntos de corte de los contornos en el cambio de plano (en el PV. en este caso) son puntos que pertenecen a la intersección. Otros puntos importantes son: los puntos de corte de las dos rectas sección (circunferencias), que son los dos puntos dobles, y los puntos de corte de la intersección con las proyecciones verticales de las generatrices de contorno horizontal del cono. En este caso podremos dibujar la circunferencia (que no es base del cono) por sus ejes principales, además de los puntos señalados anteriormente