PENETRACIONES 

 

 TODAS LAS GENERATRICES DE UN CUERPO CORTAN AL OTRO 

 

CONO DE REVOLUCIÓN Y CILINDRO DE REVOLUCIÓN

PROCESO

  1. Observa qué tipo de cuerpos son y cómo están situados: Cono de revolución y Cilindro de revolución

  • Los ejes de los cuerpos se cortan en el mismo plano. Hay Plano Común de Simetría Frontal

  • Dibuja SIEMPRE las proyecciones diédricas contrarias a los contornos de dichos cuerpos

  1. Detecta previamente, si es posible, la intersección. Podrá ser: Mordedura, Penetración, Simple Tangencia o Bitangencia

  • Es PENETRACIÓN: Observando las dos proyecciones diédricas, vemos que todas las generatrices del cono interceptan al cilindro.

  • Además, si inscribimos esferas a los dos cuerpos con centro el punto de corte de sus ejes, vemos quién penetra a quién : El cono al cilindro por ser el radio de la esfera inscrita al cono de menor radio que la del cilindro.

  • Hay por tanto DOS CURVAS PLANAS O ALABEADAS. Luego averiguaremos si son planas o alabeadas

  1. Tantea qué Método puedes aplicar a la intersección. Hay veces que incluso podemos utilizar los tres métodos existentes: Planos Paralelos, Planos por el Vértice y/o Esferas auxiliares Concéntricas

  • PLANOS POR EL VÉRTICE. Planos que pasando por los vértices de los cuerpos los cortan según generatrices (y/o aristas). Es por esto, que el método es aplicable sólo cuando los cuerpos son CONOS, CILINDROS, PIRÁMIDES O PRISMAS ENTRE SÍ

Por los vértices de los cuerpos trazamos una recta que corta a los planos de las bases en dos puntos.  La utilización de este método puede desecharse, pues tendríamos que dibujar dichas bases (circulares)  contenidas en planos perpendiculares a cada uno de los ejes de los cuerpos, y eso dificultaría y/o retrasaría la obtención de la intersección

  • ESFERAS AUXILIARES CONCÉNTRICAS. Este método es aplicable cuando se cumplan simultáneamente dos condiciones: que los cuerpos sean de revolución y que sus ejes se corten

  1. Comprueba SIEMPRE si hay algún Plano Común de Simetría. Si esto es así, debemos hacer un cambio de plano, pues veremos con respecto al mismo una Cónica (Elipse, Parábola, Hipérbola, Circunferencia e, incluso, que esa proyección degenere en Dos rectas)

  • Como se dijo hay un Plano de Simetría Frontal. Por tanto vemos con respecto al PV. de proyección una HIPÉRBOLA porque los ejes de los cuerpos se cortan.

  • Los puntos de corte de los contornos en el cambio de plano (en el PV. en este caso) son puntos que pertenecen a la intersección. Otros puntos importantes son los puntos de corte de la intersección con las proyecciones verticales de las generatrices de contorno horizontal del cono y del cilindro

  • En el espacio son DOS CURVAS ALABEADAS

 

 

CONO DE REVOLUCIÓN  de dos hojas Y UNA ESFERA

PROCESO

  1. Observa qué tipo de cuerpos son y cómo están situados: Cono de revolución de dos hojas y Esfera

  • Siendo uno de los cuerpos una esfera, podemos elegir un diámetro que corte al eje del cono de revolución: Habrá siempre un Plano Común de Simetría

  • Dibuja SIEMPRE las proyecciones diédricas contrarias a los contornos de dichos cuerpos

  1. Detecta previamente, si es posible, la intersección. Podrá ser: Mordedura, Penetración, Simple Tangencia o Bitangencia

  • Es PENETRACIÓN. Observando la proyección vertical, vemos que todas las generatrices del cono interceptan a la esfera.

  • Hay por tanto DOS CURVAS PLANAS O ALABEADAS. Luego averiguaremos si son planas o alabeadas

  1. Tantea qué Método puedes aplicar a la intersección. Hay veces que incluso podemos utilizar los tres métodos existentes: Planos Paralelos, Planos por el Vértice y/o Esferas auxiliares Concéntricas

  • PLANOS PARALELOS Aquellos planos que siendo paralelos entre sí van a producir secciones circulares y/o generatrices (o aristas) a los cuerpos.

    En este caso planos paralelos al PH. seccionan a los dos cuerpos según circunferencias, que al cortarse nos darán puntos de la intersección buscada

     

  • ESFERAS AUXILIARES CONCÉNTRICAS. Este método es aplicable cuando se cumplan simultáneamente dos condiciones: que los cuerpos sean de revolución y que sus ejes se corten

  1. Comprueba SIEMPRE si hay algún Plano Común de Simetría. Si esto es así, debemos hacer un cambio de plano, pues veremos con respecto al mismo una Cónica (Elipse, Parábola, Hipérbola, Circunferencia e, incluso, que esa proyección degenere en Dos rectas)

    • Como se dijo hay un Plano de Simetría Frontal. Por tanto vemos con respecto al PV. de proyección una PARÁBOLA, mejor dicho, DOS ARCOS DE PARÁBOLA al ser una Penetración, pues se cumple que hay una PARÁBOLA cuando los ejes de los cuerpos son paralelos, y en todos los casos en que uno de los cuerpos sea una ESFERA (porque podemos elegir siempre un diámetro de la esfera paralelo al eje del cono de revolución)

     

    • Los puntos de corte de los contornos en el cambio de plano (en el PV. en este caso) son puntos que pertenecen a la intersección. Otros puntos importantes son los puntos de corte de la intersección con las proyecciones verticales de las generatrices de contorno horizontal del cono (con sus dos hojas) y con el ecuador de la esfera

     

    • En el espacio son DOS CURVAS ALABEADAS

     

  2. En este caso particular, hay un plano perpendicular a esos ejes paralelos que pasa por el centro de la esfera y el vértice del cono, por lo que la intersección se proyecta con respecto a este plano según una CIRCUNFERENCIA
 

 

TRES CILINDROS DE REVOLUCIÓN

PROCESO

  1. Observa qué tipo de cuerpos son y cómo están situados: Tres cilindros de revolución, dos de ellos de igual  radio y el otro de mayor radio

  • Los ejes de los tres cuerpos se cortan en el mismo plano. Hay Plano Común de Simetría Frontal

  • El Cilindro de radio mayor queda proyectante con respecto al PH. de proyección

  • Dibuja SIEMPRE las proyecciones diédricas contrarias a los contornos de dichos cuerpos

  1. Detecta previamente, si es posible, la intersección. Podrá ser: Mordedura, Penetración, Simple Tangencia o Bitangencia

  • Es PENETRACIÓN. Observando la proyección horizontal, vemos que todas las generatrices de los dos cilindros de menor radio interceptan al de mayor radio

  • Hay por tanto DOS CURVAS PLANAS O ALABEADAS.  Luego averiguaremos si son planas o alabeadas

  1. Tantea qué Método puedes aplicar a la intersección. Hay veces que incluso podemos utilizar los tres métodos existentes: Planos Paralelos, Planos por el Vértice y/o Esferas auxiliares Concéntricas

  • PLANOS PARALELOS Aquellos planos que siendo paralelos entre sí van a producir secciones circulares y/o generatrices (o aristas) a los cuerpos.

    En este caso planos paralelos al PV. de proyección (frontales) seccionan a los tres cilindros según generatrices que al cortarse nos darán puntos de la intersección buscada

     

  • ESFERAS AUXILIARES CONCÉNTRICAS. Este método es aplicable cuando se cumplan simultáneamente dos condiciones: que los cuerpos sean de revolución y que sus ejes se corten

  1. Comprueba SIEMPRE si hay algún Plano Común de Simetría. Si esto es así, debemos hacer un cambio de plano, pues veremos con respecto al mismo una Cónica (Elipse, Parábola, Hipérbola, Circunferencia e, incluso, que esa proyección degenere en Dos rectas)

    • Ya vimos que hay un Plano de Simetría Frontal. Por tanto vemos con respecto al PV. de proyección HIPÉRBOLAS (cuando los ejes de los cuerpos se cortan). Mejor dicho, DOS ARCOS DE HIPÉRBOLA: Una correspondiente al cilindro izquierdo que penetra en el cilindro vertical, pero no "sale",  y otra rama del cilindro de la derecha que penetra también en el cilindro vertical, pero que tampoco sale

     

    • Los puntos de corte de los contornos en el cambio de plano (en el PV. en este caso) son puntos que pertenecen a la intersección. Otros puntos importantes son los puntos de corte de la intersección con las  proyecciones verticales de las generatrices de contorno horizontal de los cilindros

     

    • En el espacio son DOS CURVAS ALABEADAS

 

DOS CONOS DE REVOLUCIÓN

PROCESO

  1. Observa qué tipo de cuerpos son y cómo están situados: Dos Conos de revolución

  • Un cono tiene el eje vertical y el otro es frontal y perpendicular al anterior: Los ejes de los dos cuerpos se cortan: Hay Plano Común de Simetría Frontal

  • Dibuja SIEMPRE las proyecciones diédricas contrarias a los contornos de dichos cuerpos

  1. Detecta previamente, si es posible, la intersección. Podrá ser: Mordedura, Penetración, Simple Tangencia o Bitangencia

  • Es PENETRACIÓN. Observando la proyección horizontal , vemos que todas las generatrices del cono de eje vertical intercepta al otro cono

  • Hay por tanto DOS CURVAS PLANAS O ALABEADAS.  Luego averiguaremos si son planas o alabeadas

  1. Tantea qué Método puedes aplicar a la intersección. Hay veces que incluso podemos utilizar los tres métodos existentes: Planos Paralelos, Planos por el Vértice y/o Esferas auxiliares Concéntricas

  • PLANOS POR EL VÉRTICE. Planos que pasando por los vértices de los cuerpos los cortan según generatrices (y/o aristas). Es por esto, que el método es aplicable sólo cuando los cuerpos son CONOS, CILINDROS, PIRÁMIDES O PRISMAS ENTRE SÍ

    Por los vértices de los conos trazamos una recta que cortará a los planos de las bases de los cuerpos en dos puntos. Como las bases están situadas una en el PH. y otra en un plano de perfil, la utilización de este método puede desecharse (por las operaciones que debemos realizar y porque ya sabemos que se produce Penetración, según el apartado anterior)

  • ESFERAS AUXILIARES CONCÉNTRICAS. Este método es aplicable cuando se cumplan simultáneamente dos condiciones: que los cuerpos sean de revolución y que sus ejes se corten

  1. Comprueba SIEMPRE si hay algún Plano Común de Simetría. Si esto es así, debemos hacer un cambio de plano, pues veremos con respecto al mismo una Cónica (Elipse, Parábola, Hipérbola, Circunferencia e, incluso, que esa proyección degenere en Dos rectas)

    • Ya vimos que hay un Plano de Simetría Frontal. Por tanto vemos con respecto al PV. de proyección una HIPÉRBOLA (cuando los ejes de los cuerpos se cortan)

     

    • Los puntos de corte de los contornos en el cambio de plano (en el PV. en este caso) son puntos que pertenecen a la intersección. Otros puntos importantes son los puntos de corte de la intersección con las proyecciones verticales de las generatrices de contorno horizontal de los conos

     

    • En el espacio son DOS CURVAS ALABEADAS
 

 

DOS CILINDROS OBLICUOS DE BASES CIRCULARES

PROCESO

  1. Observa qué tipo de cuerpos son y cómo están situados: Dos cilindros oblicuos de bases circulares situadas éstas en el PH. de proyección

  • Los ejes de los dos cuerpos se cortan: Hay plan común de simetría

  • Dibuja SIEMPRE las proyecciones diédricas contrarias a los contornos de dichos cuerpos

  1. Detecta previamente, si es posible, la intersección. Podrá ser: Mordedura, Penetración, Simple Tangencia o Bitangencia

No podemos saber de antemano qué tipo de intersección se obtendrá

  1. Tantea qué Método puedes aplicar a la intersección. Hay veces que incluso podemos utilizar los tres métodos existentes: Planos Paralelos, Planos por el Vértice y/o Esferas auxiliares Concéntricas

  • PLANOS PARALELOS Aquellos planos que siendo paralelos entre sí van a producir secciones circulares y/o generatrices (o aristas) a los cuerpos.

    En este caso planos paralelos al PH. de proyección seccionan a los cuerpos según circunferencias. Se cortarán, en cada uno de los planos, dándonos puntos que pertenecen a la intersección buscada

     

  • PLANOS POR EL VÉRTICE. Planos que pasando por los vértices de los cuerpos los cortan según generatrices (y/o aristas). Es por esto, que el método es aplicable sólo cuando los cuerpos son CONOS, CILINDROS, PIRÁMIDES O PRISMAS ENTRE SÍ

    Por un punto cualquiera del espacio, X, trazamos rectas paralelas a las generatrices de los cilindros. Estas rectas cortan al plano donde están las bases (PH.) y definen la traza horizontal de un plano arbitrario paralelo a las generatrices de los dos cilindros. Las rectas paralelas a esta traza según corten a las bases de los cilindros nos sirven para saber el tipo de intersección que se producirá: PENETRACIÓN (Todas las generatrices de un cilindro cortan al otro)

Hay por tanto DOS CURVAS PLANAS O ALABEADAS.  ALABEADAS en este caso

  1. Comprueba SIEMPRE si hay algún Plano Común de Simetría. Si esto es así, debemos hacer un cambio de plano, pues veremos con respecto al mismo una Cónica (Elipse, Parábola, Hipérbola, Circunferencia e, incluso, que esa proyección degenere en Dos rectas)

    • Hay un Plano Común de Simetría paralelo a la LT. (pues las trazas de los planos obtenidos para detectar el tipo de intersección con el método de Planos por el Vértice, son paralelas a la misma). Sería costoso el hacer un cambio de plano para ver la HIPÉRBOLA con respecto al mismo.

     

    •  En el espacio son DOS CURVAS ALABEADAS. Estas dos curvas las obtenemos utilizando el método de planos paralelos